Messabweichungen#

In der Metrologie gilt: Ein Messwert ohne Angabe seiner Unsicherheit ist wertlos. Die Angabe der Messunsicherheit macht Messergebnisse interpretierbar, vergleichbar und vertrauenswürdig.

Traditionell wurde die Genauigkeit einer Messung aus Standardabweichungen von Wiederholungsmessungen oder aus Ausgleichungsrechnungen abgeleitet. Diese Verfahren berücksichtigen jedoch systematische Effekte (z. B. Kalibrierfehler, Umwelteinflüsse) oft nicht oder nur unzureichend.

Der GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) schafft hier Abhilfe:

  • Er kombiniert zufällige (Typ A) und systematische Unsicherheiten (Typ B) in einem einheitlichen Rahmen.

  • Ergebnisse werden dadurch realitätsnäher, transparenter und vergleichbarer.

  • Die Unsicherheit \(U = t \cdot u\) wird nach klar definierten Regeln angegeben (z. B. \(t=2\), bzw. \(k=2\) für ca. 95 %) (Für Normalverteilungen verwendet man häufig den \(k\)-Faktor, und für die Student-t-Verteilung den \(t\)-Faktor).

Eine sehr schöne Zusammenfassung, welche die Methoden zur Bestimmung der Messunsicherheit nach GUM behandelt ist von Willfried Schwarz öffentlich zugänglich. (Teil I)[https://www.gik.kit.edu/downloads/[SCHW20]GUM_AVN_Teil1.pdf] stellt die klassische GUM-Analyse vor und (Teil II)[https://www.gik.kit.edu/downloads/[SCHW20]GUM_AVN_Teil2.pdf] stellt das Verfahren der Messunsicherheitsbestimmung nach der Monte Carlo Methode und die Ermittlung von Messunsicherheiten bei Ausgleichungsrechnungen vor.

Inhaltsverzeichnis#

Zusammenfassung#

Begriff

Beschreibung

Messreihe / Stichprobe

Mehrere (\(m\)) Messwerte unter gleichen Bedingungen zur Analyse zufälliger Einflüsse.

Messabweichung

Differenz zwischen gemessenem und wahrem Wert der Messgröße.

Zufallsvariable \(X\)

Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Zufallsexperiments abhängt.

Unsicherheit \(u(x)\)

Schätzwert der möglichen Abweichung eines Messergebnisses durch zufällige Einflüsse.

Empirischer Mittelwert \(\overline{x}\)

Schätzwert für den wahren Wert: \(\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m x_j\).

Erwartungswert \(\mu\)

Mittelwert der theoretischen (unendlichen) Grundgesamtheit.

Varianz \(s^2\), \(\sigma^2\)

Maß der quadratischen Streuung um den Mittelwert \(\overline x\) bzw. Erwartungswert \(\mu\):

\(\displaystyle s^2 = \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (x_j - \overline{x})^2, \quad \sigma^2 = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m (x_j - \mu)^2\).

Standardabweichung \(s\), \(\sigma\)

Wurzel der Varianz, rechts für Normalverteilung mit \(m \rightarrow \infty\):

\(\displaystyle s = \sqrt{\frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (x_j - \overline{x})^2}, \quad \sigma = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m (x_j - \mu)^2}\).

Dichtefunktion \(h(x)\)

Integral unter \(h(x)\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(x\) in einem bestimmten Intervall liegt.

Normalverteilung

Symmetrische Verteilung vieler Messgrößen um \(\mu\); definiert durch \(\mu\) und \(\sigma\).

Student-t-Verteilung

Verteilung für kleine Stichproben (\(m<25\)), erweitert die Normalverteilung um Stichprobenunsicherheit.

Rechteckverteilung (Gleichverteilung)

Alle Werte im Intervall \([a_-,a_+]\) sind gleich wahrscheinlich.

Dreiecksverteilung

Linear ansteigende und abfallende Dichte im Intervall \([a_-,a_+]\). Ergibt sich z. B. aus Addition oder Differenz zweier gleichverteilter Zufallsvariablen.

Genauigkeitsklasse

Von den Fehlergrenzen abgeleitete Genauigkeitsangabe für Messeinrichtungen.

Kovarianz \(\mathrm{cov}(x,y)\)

Maß für die gemeinsame Streuung zweier Variablen \(x\) und \(y\). \(\displaystyle \mathrm{cov}(x,y) = \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m}(x_j - \overline{x})(y_j - \overline{y})\).

Korrelationskoeffizient \(\rho\)

Normiertes Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Größen.