Systematische Messabweichung#

Anzeigefehler von Messgeräten#

Messgeräte werden anhand ihrer Genauigkeit in Klassen eingruppiert.

Messgeräte-Kategorie

Genauigkeits-Klasse (%)

Präzisions-Messgeräte

0,001

0,002

0,005

0,01

0,05

Fein-Messgeräte

0,1

0,2

0,5

Betriebs-Messgeräte

1,0

1,5

2,5

5,0

Die Klasse entspricht der relativen Messabweichung. Präzisionsmessgeräte besitzen somit Abweichungen die zwischen 0,001% und 0,05% liegen. Die Genauigkeitsklasse K 2,5 (Angabe auf der Messskala nach DIN EN 60051) bedeutet: Ist der Endwert des eingestellten Messbereichs \(U_\mathrm{end}\), dann beträgt die Typ B-Unsicherheit über den gesamten Messbereich \(u(U) = 0{,}0025\cdot U_\mathrm{end}\). Für \(U_\mathrm{end} = 15\,\mathrm V\) erhält man also:

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U_end = 15
u = 0.0025
print('eine absolute Unsicherheit von ', u*U_end, 'V')

eine absolute Unsicherheit von  0.0375 V

Dieser Wert von 0,375V gilt unabhängig davon, wie groß der Zeigerausschlag beim Messgerät ist. Um die relative Unsicherheit gering zu halten, sollte der Messbereich möglichst so gewählt werden, dass der Messwert am Skalenende abgelesen wird.

Digitalstellenfehler#

voltmeter

Abb. 17 Voltmeter mit Digitalanzeige.#

Das Gerät im Bild zeigt den Messwert 5,847V an. Laut Hersteller ist die Maximalabweichung (unter Referenzbedingungen) \(a = \pm\) (0,5% vom Messwert + 9 Digit). Die Anzahl der Nachkommastellen (also der Digits) ist in diesem Falle 3, also 0,001V. Genauer kann das Messgerät keine Spannung angeben. Die Messabweichung setzt sich also wiefolgt zusammen (zwei signifikante Stellen reichen hierbei, da der Messwert selber nicht genauer angezeigt wird):

\[a = \pm (0{,}5\% \cdot 5{,}847\,\mathrm{V} + 9 \cdot 0{,}001\,\mathrm V) \approx \pm 0{,}038\,\mathrm V = \pm 38{,}235\,\mathrm{mV}\]

Innerhalb dieses \(\pm\) Bereiches der Breite \(2a\) unterstellt man eine Gleichverteilung der Messwerte und bekommt damit die Standardunsicherheit:

\[u(U) = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{38{,}235\,\mathrm{mV}}{\sqrt{3}} \approx 22\,\mathrm{mV}\]

Ist nichts weiter bekannt, schätzt man die Unsicherheit über einen Mindestfehler von a = 1 Digit ab.

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import numpy as np
Messwert = 5.847 # in V
Nachkommastellen = 5
A_rel = 0.005 # = 0.5%
Digit = 0.001 # in V 
A_total = A_rel * Messwert + 9 * Digit
print('Die Messtoleranz beträgt: +-',round(A_total,Nachkommastellen), 'V = +-', round(A_total*1000,Nachkommastellen), 'mV')
print('Die Unsicherheit beträgt: +-',round(A_total/np.sqrt(3),Nachkommastellen), 'V = +-', round(A_total*1000/np.sqrt(3),Nachkommastellen), 'mV')

Die Messtoleranz beträgt: +- 0.03824 V = +- 38.235 mV
Die Unsicherheit beträgt: +- 0.02207 V = +- 22.07499 mV

Abweichung aufgrund von Verbindungskabel#

Verbindungskabel besitzen Innenwiderstände, wo ebenfalls Spannungen abfallen:

\[R_L = \frac{\zeta \cdot l}{A}\]

Hierbei ist \(\zeta\) der spezifische Widerstand, der für Kupfer \(0{,}0175\,\mathrm{\Omega mm^2/m}\) beträgt. \(l\) ist die Länge der Zuleitung und \(A\) der Querschnittfläche des Kabels.

Eine gemessene Spannung ist also zu hoch und muss korrigiert werden.

Aufgabe

Angenommen man habe ein \(2\,\mathrm m\) langes Kabel, das einen Querschnitt von \(0{,}5\,\mathrm{mm^2}\) aufweist und aus Kupfer (mit einem spezifischen Widerstand von \(0{,}0175\,\mathrm{\Omega mm^2/m}\)) ist. Wie groß ist die systematische Messabweichung für eine Stromstärke von \(I = 100\,\mathrm{mA}\), wenn jeweils ein solches Kabel zum Anschluss der Spannungsmessung genommen wird?

Lösung

Angenommen man habe keine Zuleitungskabeln, wo wäre die Spannung an einem Widerstand \(R_x\) durch \(U_x = R_x \cdot I\) gegeben. Bei Zuleitungskabeln werden die unvermeidbaren Zusatz-Widerstände in Reihe zu dem eigentlichen Widerstand \(R_x\) geschaltet. Das heißt die gemessene Spannung setzt sich nun aus der Spannung an \(R_x\) und an den jeweils 2 Kabeln, \(U_L\) zusammen: \(U = U_x + 2\cdot U_L\). Der Wert für \(U_L\) beträgt:

\[U_L = \frac{\zeta \cdot l}{A} \cdot I = 7\,\mathrm{mV}\]

Damit wird die Spannung mit 2m-Kupferkabeln um \(14\,\mathrm{mV}\) zu hoch gemessen!

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zeta = 0.0175 #in Ohm mm^2 / m
l = 2 #in m
A = 0.5 #in mm^2
I = 100e-3 #in A

# Strom durch ein Zuleitungskabel
U = zeta * l / A * I
print('Die Spannung wird um ', 2*U*1000, 'mV zu hoch gemessen')

Die Spannung wird um  14.000000000000002 mV zu hoch gemessen

Korrektur#

Man merkt, dass systematische Fehler sehr unangenehm sein können, da Gegenmaßnahmen fallabhängig entwickelt werden müssen. In einigen Fällen gelangt man zu einer brauchbaren Abschätzung der Unsicherheit, wenn man den „worst case“ annimmt.

Abschätzungen von systematischen Messabweichungen, wie es z.B. im vergangenen Beispiel des Verbindungskabels geschehen ist, müssen unbedingt benutzt werden, um den Messwert am Ende zu korrigieren! Ansonsten misst man einen ungenauen Wert, der entweder zu groß oder zu klein ist. Dies wird auch häufig als “Offset” bezeichnet. Die Messung kann dann noch so präzise wie möglich sein, der Wert ist dennoch falsch.

Bei zufälligen Messabweichungen ist eine Korrektur nicht möglich. In diesem Fall muss die Messabweichung mit Methoden der Statistik bestimmt und mit dem Messwert zusammen angegeben werden.

messabw

Abb. 18 Korrektur und Angabe des Messergebnisses#