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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: 
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Sprung
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# Faltungsintegral


Gegeben sei ein RC-Tiefpass 1. Ordnung. Die Impulsantwort $h(t)$ ist für  $T = RC$ wiefolgt gegeben:

 $$h(t) = \frac{1}{T}\epsilon(t) \mathrm e^{-t/T}$$

 wobei 

 $$\epsilon(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)$$ 

 gilt und $\mathrm{sgn}(t)$  die "Vorzeichenfunktion" ist: 

$$\mathrm{sgn}(x) = 2 H(x) - 1$$

mit der Heaviside-Funktion $H(x)$

\begin{align}
H \colon \; & \mathcal R \to \{0,1\} \\
\ & x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}
\end{align}

## Aufgabe 1: Sprungantwort 
Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungsintegrals die Sprungantwort $y(t)$ des Systems. 
* Zu welcher Zeit werden 63\% und 95\% des Endwertes erreicht?
* Skizzieren Sie Impulsanregung und Impulsantwort, sowie Sprunganregung und Sprungantwort. 

````{tip}
:class: dropdown
Die angelegte Sprungfunktion kann über die Heaviside Funktion ausgedrückt werden: $f(\tau) = x_0 \cdot H(\tau)$. Berechnen Sie dann das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen aufgeteilt werden können.

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = x_0 \left( \mathrm e^{-t/\tau} \right)$$

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## Aufgabe 2: Systemantwort

Berechnen Sie die Systemantwort $y(t)$ bei einer sprunghaften Anregung $u(t)$ mit Hilfe des Faltungsintegrals ($T_0 > T$). 

$$u(t) = \mathrm{rect}\left(\frac{t-T_0/2}{T_0}\right) = \begin{cases}
1           & \text{wenn } t = [0,T_0] \\[3pt]
0 & \text{sonst}
\end{cases}
$$
    
* Skizzieren Sie alle Funktionen. 

````{tip}
:class: dropdown
Berechnen Sie das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen und Rechteckpuls  aufgeteilt werden können. 

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = 1- \mathrm e^{-t/\tau} $$

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