Systematische Messabweichung bei strom- und spannungsrichtiger Schaltung#
Zwei unbekannte Widerstände \(R\) im \(\mathrm{k\Omega}\)-Bereich werden mit zwei Messschaltungen bestimmt:
Schaltungen zur Bestimmung von Widerständen nach \(R = U/I\)#
Welches Schaltbild stellt die stromrichtige und welche die spannungsrichtige Schaltung dar?
Berechnen Sie für beide Fälle den wahren (\(R\)) und den gemessenen (\(R'\)) Widerstandswert.
Berechnen Sie für beide Fälle den systematischen absoluten und relativen Fehler in Abhängigkeit von \(R\) und den Innenwiderständen \(R_{A}\) und \(R_{V}\) der Messgeräte.
Zeichnen Sie den Betrag der Fehler in ein Diagramm in Abhängigkeit von \(R\) für beide Fälle. Für welche Grenzwerte von \(R\) sollte man strom- bzw. spannungsrichtig messen? Setzen Sie \(R_{A} = 10\,\mathrm \Omega\) und \(R_{V} = 20\,\mathrm{k\Omega}\).
Ergebnisse
Messung |
wahrer Wert \(R\) |
gemessener Wert \(R'\) |
|---|---|---|
stromrichtig |
\(R = \frac{U_R}{I} = R'-R_A\) |
\(R' = \frac{U}{I} = R+R_A\) |
spannungsrichtig |
\(R = \frac{U}{I_R} = \frac{R'R_V}{R_V-R'}\) |
\(R' = \frac{U}{I} = \frac{RR_V}{R+R_V}\) |
Messung |
absoluter Fehler |
relativer Fehler |
|---|---|---|
stromrichtig |
\(R'-R = R_A\) |
\(\frac{R'-R}{R} = \frac{R_A}{R} \) |
spannungsrichtig |
\(R'-R = -\frac{R^2}{R+R_V}\) |
\(\frac{R'-R}{R} = -\frac{R}{R+R_V} \) |
stromrichtig: \(R' = R+R_A \approx R\) wenn \(R >> R_A\)
spannungsrichtig: \(\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_V} \approx \frac{1}{R}\) für \(\frac{1}{R} >> \frac{1}{R_V}\) bzw. \(R << R_V\)
für die Grenze gleichsetzen…