Sprung- und Impulsantwort und Übertragungsfunktion#

Die Sprungantwort eines LTI-Systems lautet

\[\begin{split} g(t)=\left\{\begin{array}{cl}0&\textrm{für}\,\,t<0\\ 2t&\textrm{für}\,\, 0 \leq t \leq T \\ 2T&\textrm{für}\,\, t > T\end{array}\right. \end{split}\]

  1. Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort \(h(t)\) des Systems.

  2. Wie lautet die Übertragungsfunktion \(H(f)\) des Systems? Geben Sie \(H(f)\) unter Verwendung der si-Funktion an.

  3. Bestimmen Sie den Betrag \(|H(f)|\) und die Phase \(\varphi(f)\) von \(H(f)\).

Tipp

  1. Der Impuls ist die Ableitung eines Sprungs. In einem LTI-System gilt, dass die Impulsantwort, \(h(t)\), die Ableitung der Sprungantwort, \(g(t)\), ist.

  2. Die Übertragungsfunktion ist für eine Impulsanregung definiert. Transformiere folglich \(h(t)\) in den Frequenzbereich und löse das Integral der Fourier (oder Laplace) Transformation:

\[H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm e^{-j2\pi ft}dt = ... = 2T \mathrm{si}(\pi f T) \mathrm e^{-j\pi fT}\]

  1. Überlegen Sie, was der Betrag einer komplexen e-Funktion ist. Die Funktion \(|\mathrm{si}(...)|\) können Sie so stehen lassen. Für die Phase gilt die allgemeine Formel:

\[\varphi(f) = \arctan\left(\frac{Im(H)}{Re(H)}\right)\]
Impulsantwort hintereinander geschalteter Systeme   Interferometrische Längenmessung