Signal-Rausch-Verhältnis bei einer Tiefpass-Filterung#

Die Güte eines Signals wird in der Systemtheorie über das Signal-Rausch-Verhältnis (Signal-Noise-Ratio SNR) beschrieben. Es ist definiert als das Verhältnis der mittleren Nutzsignalleistung zur mittleren Rauschsignalleistung:

\[\mathrm{SNR} = \frac{P_\mathrm{Signal}}{P_\mathrm{Rauschen}}\]

In dieser Aufgabe wird untersucht, wie ein Tiefpass-Filter das Signal-Noise-Ratio (SNR) verbessern kann. Dazu wird das harmonische Signal

\[u_1(t) = 1\,\mathrm V \cos(2\pi\cdot 100\,\mathrm{Hz} \cdot t)\]

angenommen.

Das Signal ist mit einer harmonischen Störung

\[u_2(t) = 0{,}5\,\mathrm V \cos(2\pi \cdot 1\,\mathrm{kHz} \cdot t)\]

überlagert.

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Wie lauten die komplexen Koeffizienten \(\underline c_k\) der beiden Signale? Berechnen Sie die mittlere Leistung \(P\) mithilfe der Fourier-Koeffizienten und dem Parseval’schen Theorem:

\[ P = |c_0|^2 + 2 \cdot \sum_{k = 1}^N |\underline c_k|^2\]

Geben Sie das Signal-Noise-Ratio SNR an.

Die Summe der beiden Signale wird von einem RC-Tiefpass gefiltert. Geben Sie die Fourier-Koeffizienten nach der Filterung an. Berechnen Sie das SNR nach einem Tiefpass mit einem Widerstand von \(R = 100\,\mathrm{k\Omega}\) und einer Kapazität von \(C = 10\,\mathrm{nF}\). Um welchen Faktor hat sich das SNR verbessert? Skizzieren Sie das Spektrum aller Fourier-Koeffizienten.

Kontinuierliche und Diskrete Signale