Passiver CR-Hochpass 1. Ordnung#

In der Vorlesung wurde das Zeitverhalten der RC-Tiefpass-Schaltung erläutert. In dieser Aufgabe sollen die dort gebrachten Überlegungen auf ein CR-Hochpass-Messglied angewendet werden. Gegeben ist die Schaltung in der Abbildung.

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Schaltbild eines CR-Hochpasses 1. Ordnung.#

Geben Sie für die CR-Schaltung den komplexen Frequenzgang \(\underline G(jf) = \frac{\underline U_a(f)}{U_e(f)}\) an (über DGL oder komplexe Impedanzen). Spalten Sie den Frequenzgang in seinen Realteil und Imaginärteil. Geben Sie den Amplitudengang \(G(f) = |G(jf)|\) und Phasengang in Abhängigkeit von \(f_g = 1/(2\pi R C)\) an. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den Grenzfall \(f = 0\,\mathrm{Hz}\) und \(f = f_g\)? Skizzieren Sie Amplituden- und Phasengang für folgende Fälle:

\[U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 1\,\mathrm{\upmu F}\]
\[U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 200\,\mathrm{nF}\]

Geben Sie die DGL an. Bestimmen Sie die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes für den Fall, dass sich die Eingangsspannung zur Zeit \(t=0\,\mathrm s\) sprunghaft von \(u_\mathrm e(t=0\,\mathrm s) = 0\,\mathrm V\) auf \(u_\mathrm e(t>0\,\mathrm s) = U_0\) ändert. Nutzen Sie hierfür den für eine Sprunganregung typischen exponentiellen Ansatz, wobei \(K_0\) und \(\gamma\) Konstanten sind, die zu bestimmen sind:

\[ u_\mathrm a(t) = K_0 \cdot \mathrm e^{-\gamma t}\]

Skizzieren Sie die Sprungantworten für die angegebenen Fälle.

Tipp

Hinweis zum Lösen der DGL:

  • Lösen Sie zuerst die homogene DGL (ohne Anregung, \(u_\mathrm{e}(t)=0\)).

  • Finden Sie die partikuläre Lösung für \(t \rightarrow \infty\), wenn sich der Kondensator voll aufgeladen hat (\(u_\mathrm a(t)\)=?).

  • Geben Sie den allgemeinen Lösungsansatz an (Summe aus homogener und partikulärer Lösung).

  • Bestimmen Sie die Konstanten mithilfe der gegebenen Anfangsbedingungen.
Grafische Faltung   Passiver RC-Tiefpass 1. Ordnung