Fourierreihe einer Dreieck-Schwingung

Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Dreieck-Schwingung. Wie lauten die Koeffizienten für \(k = 1,2,3,4,5\)? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.

Dreiecksignal

Formeln für die rellen Fourier-Reihen

Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um \(x(t)\) in einer Reihe zu entwickeln:

\[x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)\]

Der Mittelwert (Gleichanteil) \(x_0\) und die Koeffizienten, \(a_k\) und \(b_k\) berechnen sich durch die Integrale:

\[x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt\]

\[a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt \]

\[b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt \]

Formeln für die komplexe Fourier-Reihen

Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:

\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]

Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:

\[\underline {c}_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \mathrm e^{- j 2\pi k f_0 t} dt \]

Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:

\[a_k = \underline{c}_{k} + \underline{c}_{-k} \qquad b_k = j (\underline{c}_{k} - \underline{c}_{-k})\]

\[\underline c_k = \frac{1}{2} (a_k - j b_k) \qquad \underline c_{-k} = \frac{1}{2} (a_k + j b_k)\]

Fourier-Transformation Sägezahn   Fourierreihe einer Sägezahn-Spannung