Faltungsintegral

Gegeben sei ein RC-Tiefpass 1. Ordnung. Die Impulsantwort \(h(t)\) ist für \(T = RC\) wiefolgt gegeben:

\[h(t) = \frac{1}{T}\epsilon(t) \mathrm e^{-t/T}\]

wobei

\[\epsilon(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)\]

gilt und \(\mathrm{sgn}(t)\) die „Vorzeichenfunktion“ ist:

\[\mathrm{sgn}(x) = 2 H(x) - 1\]

mit der Heaviside-Funktion \(H(x)\)

()\[\begin{align} H \colon \; & \mathcal R \to \{0,1\} \\ \ & x \mapsto \begin{cases} 0 : & x < 0\\ 1 : & x \ge 0 \end{cases} \end{align}\]

Aufgabe 1: Sprungantwort

Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungsintegrals die Sprungantwort \(y(t)\) des Systems.

• Zu welcher Zeit werden 63% und 95% des Endwertes erreicht?

• Skizzieren Sie Impulsanregung und Impulsantwort, sowie Sprunganregung und Sprungantwort.

Tipp

Die angelegte Sprungfunktion kann über die Heaviside Funktion ausgedrückt werden: \(f(\tau) = x_0 \cdot H(\tau)\). Berechnen Sie dann das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen aufgeteilt werden können.

\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = x_0 \left( \mathrm e^{-t/\tau} \right)\]

Aufgabe 2: Systemantwort

Berechnen Sie die Systemantwort \(y(t)\) bei einer sprunghaften Anregung \(u(t)\) mit Hilfe des Faltungsintegrals (\(T_0 > T\)).

\[\begin{split}u(t) = \mathrm{rect}\left(\frac{t-T_0/2}{T_0}\right) = \begin{cases} 1 & \text{wenn } t = [0,T_0] \\[3pt] 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{split}\]

• Skizzieren Sie alle Funktionen.

Tipp

Berechnen Sie das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen und Rechteckpuls aufgeteilt werden können.

\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = 1- \mathrm e^{-t/\tau} \]

Bode-Diagramm   Impulsantwort hintereinander geschalteter Systeme