Aussschlagsmessbrücke#

Gegeben ist eine Ausschlagmessbrücke bestehend aus den beiden Spannungsteilern \(R_1\) und \(R_2\), bzw. \(R_3\) und \(R_4\).

../_images/MB_1.png

Messbrücke#

Aufgabe 1: Diagonalspannung#

Berechnen Sie die Diagonalspannung \(U_d\) einer Ausschlag-Messbrücke.

Tipp

  • Schreiben Sie die beiden Spannungsteiler-Gleichungen auf

  • Subtrahieren Sie die beiden Spannungswerte, z.B. \(U_d = U_2-U_4\)

Aufgabe 2: Sensor#

Mit der Brücke soll die Widerstandsänderung \(\Delta R\) eines Sensors, gegeben durch \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) (Temperaturfehler \(\Delta R_T\)) erfasst werden. Die anderen Brückenwiderstände sind mit \(R_0\) anzunehmen.

  • Skizzieren Sie die Schaltung

  • Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).

Tipp

  • Ersetzen Sie \(R_2\) in der Gleichung von Aufgabe 1, sowie alle anderen Widerstände durch \(R_0\) und vereinfachen Sie die Gleichung für \(U_d\).

Aufgabe 3: Temperaturkompensation#

Die Temperaturabhängigkeit \(\Delta R_T\) soll verringert werden. Hierzu steht Ihnen ein Widerstand mit identischem Temperaturverhalten zur Verfügung: \(R_K = R_0 + \Delta R_T\). Zeigen Sie, dass mit Hilfe von \(R_K\) der Einfluss von \(\Delta R_T\) stark reduziert werden kann. Gehen Sie folgendermaßen vor:

  • Geben Sie eine geeignete Brückenschaltung an.

  • Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).(Zwischenergebnisse sind im nächsten Punkt angegeben.)

  • Berechnen Sie die Empfindlichkeit in Abhängigkeit von \(\Delta R_T\) für die beiden Fälle mit und ohne \(R_K\).

\[E_{1} = \frac{dU_d}{d\Delta R_T} \quad \textrm{mit} \quad U_d = \frac{U_0}{2} \cdot \frac{\Delta R + \Delta R_T}{2R_0 + \Delta R + \Delta R_T} \quad \textrm{ohne} \quad R_{K}\]
\[E_2 = \frac{dU_d}{d\Delta R_T} \quad \textrm{mit} \quad U_d = \frac{U_0}{2} \cdot \frac{\Delta R}{2R_0 + \Delta R + 2\Delta R_T} \quad \textrm{mit} \quad R_{K}\]

  • Bilden Sie den Quotienten aus beiden Resultaten, \(\frac{E_{1}}{E_{2}}\) und nähern Sie für \(\Delta R_{T} << R_{0}\).

Tipp

  • Setzen Sie \(R_K\) an die Stelle von \(R_1\), also in den gleichen Spannungsteiler.

  • Die Empfindlichkeit berechnen Sie über die Ableitung, hier die Ableitung nach \(d \Delta R_T\), wenn Sie die Empfindlichkeit für \(\Delta R_T\) haben möchten.

  • Setzen Sie Beispielwerte ein:

\[R_0 = 1\,\mathrm{k\Omega}\]
\[\Delta R = 100\,\mathrm\Omega\]
\[\Delta R_T = 0-1000\,\mathrm\Omega\]
\[U_0 = 10\,\mathrm V\]

Kontrollergebnisse

  • Diagonalspannung allgemein:

\[\frac{U_d}{U_0} = U_2 - U_4 = \frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}\]

  • Diagonalspannung mit Sensor bei \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) und Empfindlichkeit E_1$:

\[U_d = \frac{U_0}{2} \cdot \frac{\Delta R + \Delta R_T}{2R_0 + \Delta R + \Delta R_T}\]
\[E_1 = \frac{dU_d}{d\Delta R_T} = \frac{U_0}{2} \frac{2R_0}{(2R_0 + \Delta R + \Delta R_T)^2}\]

  • Diagonalspannung mit Sensor bei \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) und Korrekturwiderstand gegen Temperaturänderungen, \(R_1 = R_K\) und Empfindlichkeit \(E_2\):

\[U_d = \frac{U_0}{2} \cdot \frac{\Delta R}{2R_0 + \Delta R + 2\Delta R_T}\]
\[ = \frac{U_0}{2} \frac{-2\Delta R}{(2R_0 + \Delta R + \Delta 2R_T)^2}\]

  • Verhältnis: Wir nehmen an, dass der Fehler aufgrund von Temperatur, \(\Delta R_T\), klein im Vergleich zum Widerstandswert \(R_0\) ist, sodass \(2 \Delta R_T \approx \Delta R_T\). Dadurch kürzt sich der Nenner weg, wenn die beiden Empfindlichkeiten ins Verhältnis gesetzt werden und es folgt:

\[r \approx -\frac{R_0}{\Delta R} = \frac{10000}{100} = 100\]

Die Möglichkeit Temperatur zu unterdrücken wird hauptsächlich durch die Wahl von den nominellen Widerstandswerten \(R_0\) bestimmt, die in der Brücke verbaut sind, und der zu messenden Größe \(\Delta R\). Je größer der Abstand zwischen \(R_0\) und \(\Delta R\), desto besser ist die Rauschunterdrückung.

Verstärkerschaltung   Bestimmung des Drehmomentes einer Welle